Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất là 0,6%/ tháng

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Tổng quát:

Giả sử người đó vay ngân hàng số tiền A triệu đồng.

Lãi suất: r % / tháng.

Cuối mỗi tháng người đó trả a triệu đồng.

Cuối tháng đầu tiên, số tiền A triệu đồng ban đầu sinh ra cả gốc lẫn lãi là $\mathrm{A}+\mathrm{Ar}=\mathrm{A}\left(1+\mathrm{r}\right)$. Sau khi trả a triệu đồng thì người đó còn nợ $\mathrm{A}\left(1+\mathrm{r}\right)-\mathrm{a}$.

Cuối tháng thứ hai, sau khi trả a triệu đồng người đó còn nợ $\mathrm{A}\left(1+\mathrm{r}\right)-\mathrm{a}\left(1+\mathrm{r}\right)-\mathrm{a}$.

$=\mathrm{A}{\left(1+\mathrm{r}\right)}^2-\mathrm{a}\left(1+\mathrm{r}\right)-\mathrm{a}$

…

Cuối tháng thứ n, sau khi trả a triệu đồng người đó còn nợ

$$\begin{gathered} \mathrm{A}{\left(1+\mathrm{r}\right)}^{\mathrm{n}}-\mathrm{a}{\left(1+\mathrm{r}\right)}^{\mathrm{n}-1}-...-\mathrm{a} \\ =\mathrm{A}{\left(1+\mathrm{r}\right)}^{\mathrm{n}}-\mathrm{a}[{\left(1+\mathrm{r}\right)}^{\mathrm{n}-1} \\ +{\left(1+\mathrm{r}\right)}^{\mathrm{n}-2}...+1] \end{gathered}$$

$=\mathrm{A}{\left(1+\mathrm{r}\right)}^{\mathrm{n}}-\mathrm{a}.\frac{{\left(1+\mathrm{r}\right)}^{\mathrm{n}}-1}{\mathrm{r}}$

 Giả sử đến cuối tháng thứ n thì người đó trả hết nợ, khi đó

$\mathrm{A}{\left(1+\mathrm{r}\right)}^{\mathrm{n}}-\mathrm{a}.\frac{{\left(1+\mathrm{r}\right)}^{\mathrm{n}}-1}{\mathrm{r}}=0$

$$\begin{gathered} \iff \mathrm{A}{\left(1+\mathrm{r}\right)}^{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{r}}\left[{\left(1+\mathrm{r}\right)}^{\mathrm{n}}-1\right] \\ \iff {\left(1+\mathrm{r}\right)}^{\mathrm{n}}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{r}}-\mathrm{A}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{r}} \end{gathered}$$.

Thay số:

$\mathrm{n}={\log }_{1+\frac{0,6}{100}}\left(\frac{10}{10-200.\frac{0,6}{100}}\right)\approx 21,37$

Vậy sau ít nhất 22 tháng thì người đó trả được hết số nợ ngân hàng.