Biết rằng x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện 1< x < căn y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Đặt $t=\frac{\sqrt{y}}{x}>1\Rightarrow \sqrt{y}=tx\Rightarrow P={\left({\log }_x{\left(tx\right)}^2-1\right)}^2+8{\left({\log }_t\frac{tx}{\sqrt{x}}\right)}^2$ 

$={\left({\log }_x{t}^2+1\right)}^2+8{\left[{\log }_t\left(tx\right)-{\log }_t\sqrt{x}\right]}^2=2{\left({\log }_x{t}^2+1\right)}^2+8{\left(1+{\log }_{t}x-\frac{1}{2}{\log }_{t}x\right)}^2$ 

Đặt $u={\log }_{t}x\Rightarrow P={\left(2u+1\right)}^2+8{\left(1+\frac{1}{2u}\right)}^2=4u^2+4u+\frac{2}{u^2}+\frac{8}{u}+9=P\left(u\right)$ 

Do $u={\log }_x\frac{\sqrt{y}}{x}={\log }_x\sqrt{y}-1>0$ nên xét $P\left(u\right)\left(u>0\right)\Rightarrow P\text{'}\left(u\right)=8u+4-\frac{4}{u^3}-\frac{8}{u^2}$ 

$=\frac{4\left(2u+1\right)\left(u^3-1\right)}{u^3}=0\stackrel{u>0}{\to }u=1$. Do đó ta tìm được $P_{min}=P\left(1\right)=27$.