Trong mặt phẳng , cho prabol y=x^2 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;3)

* Hướng dẫn giải

Giả sử d cắt (P) tại hai điểm phân biệt $A\left(a;a^2\right),B\left(b;b^2\right)$ với

Phương trình đường thẳng $d:y=\left(a+b\right)x-ab$

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng d. Ta có:

$$\begin{gathered} S={\int }_a^b\left|\left(a+b\right)x-ab-x^2\right|dx \\ ={\int }_a^b\left|\left(x-a\right)\left(x-b\right)\right|dx \\ =-{\int }_a^b\left|\left(x-a\right)\left(x-b\right)\right|dx \\ =-{\left(\frac{1}{3}{x}^3-\frac{a+b}{2}{x}^2+abx\right)}_a^b \\ =\frac{1}{6}{\left(b-a\right)}^3 \end{gathered}$$

Do M ( 1;3 )$\in d$ nên a + b = ab + 3

Suy ra 

$$\begin{gathered} S^2=\frac{1}{36}{\left[{\left(b-a\right)}^2\right]}^3=\frac{1}{36}{\left[{\left(a+b\right)}^2-4ab\right]}^3 \\ =\frac{1}{36}\left[{\left(ab+3\right)}^2-4ab\right] \\ =\frac{1}{36}{\left[{\left(ab+1\right)}^2+8\right]}^3\ge \frac{8^3}{36}=\frac{128}{9} \\ \Rightarrow S\ge \frac{8\sqrt{2}}{3} \\ minS=\frac{8\sqrt{2}}{3}\iff ab+1=0 \\ \iff ab=-1\iff a+b=2 \end{gathered}$$

Vậy ta lập được phương trình đường thẳng

d: y = 2x + 1 nên 2x - y + 1 = 0

Đáp án A