Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Xét $x\in \left[-\mathrm{\pi };\mathrm{\pi }\right]$ mà $\left\{\begin{array}{l}1+2\sin x\ge 0\\ 1+2\cos x\ge 0\end{array}\right.$ suy ra $x\in \left[-\frac{\mathrm{\pi }}{6};\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right]$ 

Ta có $\sqrt{1+2\cos x}+\sqrt{1+2\sin x}=\frac{m}{2}\iff \frac{m^2}{8}=1+\sin x+\cos x+\sqrt{\left(1+2\sin x\right)\left(1+2\cos x\right)}$ 

Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)\Rightarrow t\in \left[\frac{\sqrt{3}-1}{2};\sqrt{2}\right]$ mà $2\sin x.\cos x=t^2-1$.

Khi đó $f\left(t\right)=1+t+\sqrt{2t^2+2t-1}$, có $f\text{'}\left(t\right)=t+\frac{2t+1}{\sqrt{2t^2+2t-1}}>0,\forall t\in \left[\frac{\sqrt{3}-1}{2};\sqrt{2}\right]$

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên $\left[\frac{\sqrt{3}-1}{2};\sqrt{2}\right]\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}minf\left(t\right)=f\left(\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\\ maxf\left(t\right)=f\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$ 

Do đó, để $f\left(t\right)=\frac{m^2}{8}$ có nghiệm $\iff \frac{1+\sqrt{3}}{2}\le \frac{m^2}{8}\le 2+2\sqrt{2}\iff 2\sqrt{1+\sqrt{3}}\le m\le 4\sqrt{1+\sqrt{2}}$.