Giả sử f là hàm đơn điệu sao cho lìm(2x)/f(x)=1. Với mọi k > 0

* Hướng dẫn giải

Ta có 

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(2x\right)}{f\left(x\right)}=1\Rightarrow \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(2^{n}x\right)}{f\left(x\right)} \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(2^{n}x\right)}{f\left(x\right)}.\frac{f\left(2^{n-1}x\right)}{f\left(2^{n-2}x\right)}..\frac{f\left(2x\right)}{f\left(x\right)}=1 \end{gathered}$$

Giả sử f(x) tăng và $k\ge 1$. Ta thấy tồn tại $n\in N$ sao cho $2^n\le k\le 2^{n+1}$

 Theo tính đơn điệu của f, ta có $f\left(2"x\right)\le f\left(kx\right)\le f\left(2^{n+1}x\right)$

Từ đây suy ra $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(kx\right)}{x}=1,\forall k\ge 1$

Cũng suy luận như trên, trong trường hợp 0 < k < 1 ta có

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(kx\right)}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(u\right)}{f\left({\displaystyle \frac{u}{k}}\right)}=1$

Vậy ta thu được $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(kx\right)}{x}=1,\forall k>0$

Đáp án A