Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức ?=1+?3?+2

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Cách 1: $w=\left(1+i\sqrt{3}\right)z+2\iff z=\frac{w-2}{1+i\sqrt{3}}$. Từ đó

$$\begin{gathered} \left|z-1\right|\le 2\iff \left|\frac{w-2}{1+i\sqrt{3}}-1\right|\le 2 \\ \iff \left|w-3-i\sqrt{3}\right|\le 2\left|1+i\sqrt{3}\right| \\ \iff \left|w-\left(3+i\sqrt{3}\right)\right|\le 4 \end{gathered}$$

Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn tâm $I\left(3;\sqrt{3}\right)$ bán kính $R=4$. Chọn đáp án A.

Cách 2: Gọi $w=x+yi;\left(x,y\in ℝ\right)$. Khi đó ta có

$$\begin{gathered} w=\left(1+i\sqrt{3}\right)z+2\iff x+yi=\left(1+i\sqrt{3}\right)z+2 \\ \iff \frac{x-2+yi}{1+i\sqrt{3}}=z \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left|z-1\right|=\left|\frac{x-2+yi}{1+i\sqrt{3}}-1\right|=\left|\frac{x-3-\left(y-\sqrt{3}\right)i}{1+i\sqrt{3}}\right| \\ \Rightarrow \left|z-1\right|=\left|\frac{x-y\sqrt{3}+i\left(y-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}\right)}{4}\right| \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \left|z-1\right|\le 2\Rightarrow \sqrt{{\left(x-y\sqrt{3}\right)}^2+{\left(y-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}\right)}^2}\le 8 \\ \Rightarrow {\left(x-3\right)}^2+{\left(y-\sqrt{3}\right)}^2\le 16 \end{gathered}$$.

Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn tâm $I\left(3;\sqrt{3}\right)$ bán kính $R=4$. Chọn đáp án A.

Bài toán tổng quát: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số $w=\alpha z+\beta$ trong đó z là số phức tùy ý thỏa mãn $\left|z-z_0\right|\le R$ ($z_0,\alpha \ne 0$, $\beta$ là những số phức cho trước, R là số thực dương cho trước).

Tương tự như lời giải trên, ta có tập hợp cần tìm là hình tròn có tâm là điểm biểu diễn số phức $\alpha z_0+\beta$, với bán kính bằng $R\left|\alpha \right|$.