Cho a thuoc (0;pi/2) Tính tích phân xdx/1+x^2+ tích phân dx/x(1+x^2)

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số ${\int }_e^{\tan \left(a\right)}\frac{xdx}{1+x^2}+{\int }_e^{cot\left(a\right)}\frac{dx}{x\left(1+x^2\right)}$ xác định với mọi $x\in \left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

Ta sẽ tính T(a)

Gọi F(t); G(t) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số $y=\frac{t}{1+t^2}$ và $y=\frac{1}{t\left(1+t^2\right)}$

Khi đó $T\left(x\right)=F\left(\tan x\right)-F\left(e\right)+G\left(cotx\right)-G\left(e\right)$

Suy ra 

$$\begin{gathered} T\text{'}\left(x\right)=F\text{'}\left(\tan x\right).\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}-G\text{'}\left(cotx\right).\frac{1}{{\sin }^2\left(x\right)} \\ =\frac{\tan \left(x\right)}{\left(1+{\tan }^2\left(x\right)\right){\cos }^2\left(x\right)}-\frac{1}{cotx\left(1+{\mathrm{os}}^2\left(x\right)\right){\sin }^2\left(x\right)} \\ =\tan \left(x\right)-\frac{1}{cotx}=0 \end{gathered}$$

Do đó T(x) là hàm hằng trên khoảng $x\in \left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$. Khi $a=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ thì

$$\begin{gathered} T\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)={\int }_e^1\frac{xdx}{1+x^2}+{\int }_e^1\frac{dx}{x\left(1+x^2\right)} \\ ={\int }_e^1\frac{dx}{x}=-1 \end{gathered}$$

Đáp án B