Cho biết với mỗi u>0 phương trình t^2+ut-8=0 có nghiệm dương duy nhất

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số $h\left(t\right)=t^3+ut-8$

Ta có $h\text{'}\left(t\right)=3t^2+u>0$ với mọi t > 0. Do đó h là hàm đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$

Mặt khác $h\left(0\right)=-8;h\left(2\right)=2u>0$ nên tồn tại duy nhất $c\in \left(0;2\right)$  suy cho h(c) = 0

Với mỗi $0<x\le 2$ ta có $u\left(x\right)=\frac{8-x^3}{x}\ge 0$ . Suy ra $x^3+u\left(x\right).x-8=0$. Do đó x là nghiệm dương của phương trình $t^3+u\left(x\right).t-8=0$. Do tính duy nhất của nghiệm ta suy ra $f\left(u\left(x\right)\right)=x$

Ta có $u\text{'}\left(x\right)=-\frac{8}{x^2}-2x$

Khi x = 2 thì u = 0 và khi x = 1 thì u = 7. Áp dụng công thức đổi biến ta có

$$\begin{gathered} {\int }_0^7{f}^2\left(u\right)du=-{\int }_0^1{f}^2\left(u\left(x\right)\right)dx \\ ={\int }_0^2\left(8+2x^3\right)dx=\frac{31}{2} \end{gathered}$$

Đáp án A