Cho x,y là hai số không âm thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất

* Hướng dẫn giải

Ta có $x+y=2\Rightarrow y=2-x\ge 0$$\Rightarrow 0\le x\le 2$. Thay y = 2 - x và biểu thức P ta được

$$\begin{gathered} P=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+{\left(2-x\right)}^2-x+1 \\ =\frac{1}{3}{x}^3+2x^2-5x+5=f\left(x\right) \end{gathered}$$

với  $x\in \left[0;2\right]$

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=x^2+4x-5=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ x=-5\end{array}\right.$

Do $x\in \left[0;2\right]$ nên loại x = -5

$f\left(1\right)=\frac{7}{3};f\left(0\right)=5;f\left(2\right)=\frac{17}{3}$ 

Vậy $\underset{x\in \left[0;2\right]}{min}P=\underset{x\in \left[0;2\right]}{min}f\left(x\right)=\frac{7}{3}$ khi và chỉ khi x = 1

Đáp án B