Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B

* Hướng dẫn giải

Đặt CM = x (với $0\le x\le 10$) thì $DN=10-x$ 

Khi đó $AM=\sqrt{x^2+1}$ và $BN=BN=\sqrt{{\left(10-x\right)}^2+16}=\sqrt{x^2-20x+116}$

Tổng quảng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là  

Do MN không đổi nên tổng quảng đường nhỏ nhất khi và chỉ khi

$AM+BN=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-20x+116}$

nhỏ nhất.

Xét hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-20x+116}$ với $x\in \left[0;10\right]$

Ta có $f\text{'}\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{x-10}{\sqrt{x^2-2x+116}}$

Khi đó

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=0 \\ \iff x\sqrt{x^2-2x+116}=\left(10-x\right)\sqrt{x^2+1} \\ \iff x^2\left(x^2-20x+116\right)=\left(x^2-20x+100\right)\left(x^2+1\right) \\ \iff 16x^2=x^2-20x+100 \\ \iff 15x^2+20x-100=0 \\ \iff x=-\frac{10}{3};x=2 \end{gathered}$$ 

Do $x\in \left[0;10\right]$ nên ta chọn x = 2

Ta có $f\left(0\right)=11;f\left(2\right)=5\sqrt{5};f\left(10\right)=2+\sqrt{101}$ 

Suy ra $\underset{x\in \left[0;10\right]}{min}f\left(x\right)=5\sqrt{5}\iff x=2$ 

Vậy CM = 2km

Đáp án C