Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=(m-cosx)/sin^2x

* Hướng dẫn giải

Ta có $y=\frac{m-\cos \left(x\right)}{{\sin }^2\left(x\right)}=\frac{m-\cos \left(x\right)}{1-{\cos }^2\left(x\right)}$ 

Đặt $t=\cos \left(x\right),t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$ 

Xét hàm số $g\left(t\right)=\frac{m-t}{1-t^2},t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$ 

Hàm số nghịch biến trên $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ khi và chỉ khi

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(t\right)\le 0,\forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right) \\ \iff m\le \frac{t^2+1}{2t},\forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right) \end{gathered}$$ 

Lại xét hàm số $h\left(t\right)=\frac{t^2+1}{2t},\forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$ 

Ta có $h\text{'}\left(t\right)=\frac{t^2-1}{2t^2}>0,\forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$ 

Lập bảng biến thiên trên $\left(0;\frac{1}{2}\right)$, ta suy ra $m\le \frac{5}{4}$ thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án A