Tìm các khoảng chứa giá trị của a để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Ta có

$$\begin{gathered} {\left(2+\sqrt{3}\right)}^x{\left(2-\sqrt{3}\right)}^x=1 \\ \Rightarrow {\left(2-\sqrt{3}\right)}^x=\frac{1}{{\left(2+\sqrt{3}\right)}^x} \end{gathered}$$ 

Đặt $t=\frac{1}{{\left(2+\sqrt{3}\right)}^x}\left(t>0\right)$, phương trình đã cho trở thành $t+\frac{1-a}{t}-4=0\iff t^2-4t+1-a=0$

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt  phương trình (*) có 2nghiệm dương phân biệt $\iff \left\{\begin{array}{l}{t}_1+t_2=4>0\\ t_1{t}_2=1-a>0\end{array}\right.\iff a<1$ 

Ta có

$$\begin{gathered} x_1-x_2={\log }_{2+\sqrt{3}}\left(3\right) \\ \iff {\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x_1-x_2}=3 \\ \iff \frac{{\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x_1}}{{\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x_2}}=3 \\ \iff \frac{t_1}{t_2}=3 \end{gathered}$$

Vì $t_1+t_2=4$ nên điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm t = 3; t = 1 

Khi đó $1-a=3.1=3\iff a=-2$

Đáp án B