Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng

* Hướng dẫn giải

Ta có $\left\{\begin{array}{l}AK\perp SC\left(AK\perp \left(\alpha \right)\right)\\ AK\perp BC\left(BC\perp \left(SAB\right)\right)\end{array}\right.$ 

Suy ra $AK\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AK\perp SB$.

Vì $∆SAB$ vuông cân tại A nên K là trung điểm của SB. Ta có

$\frac{V_{S.AHK}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA.SK.SH}{SA.SB.SC}=\frac{SH}{2SC}$ 

Ta có

$$\begin{gathered} AV=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=2a \\ SV=\sqrt{A{C}^2+S{A}^2}=a\sqrt{5} \end{gathered}$$. 

Khi đó $\frac{SH}{SC}=\frac{SH.SC}{S{C}^2}=\frac{S{A}^2}{S{C}^2}=\frac{1}{5}$ 

Suy ra $\frac{V_{S.AHK}}{V_{S.ABC}}=\frac{SH}{2SC}=\frac{1}{10}$ 

Mặt khác$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}AB.BC=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$ Vậy $V_{S.AHK}=\frac{a^3\sqrt{3}}{60}$

Đáp án C