Một nhà máy sản xuất nước ngọt cần làm các lon dựng dạng hình trụ với thể tích

* Hướng dẫn giải

Gọi bán kính hình trụ là x > 0.

Khi đó ta có diện tích của hai đáy thùng là $S_1=2{\mathrm{\pi x}}^2$Diện tích xung quanh của thùng là $S_2=2\mathrm{\pi xh}=2\mathrm{\pi x}\frac{\mathrm{V}}{{\mathrm{\pi x}}^2}=\frac{2\mathrm{V}}{\mathrm{x}}$

trong đó h là chiều cao của thùng và từ $V={\mathrm{\pi x}}^2.\mathrm{h}\Rightarrow \mathrm{h}=\frac{\mathrm{V}}{{\mathrm{\pi x}}^2}$

Vậy diện tích toàn phần của thùng là $S=S_1+S_2=2{\mathrm{\pi x}}^2+\frac{2\mathrm{V}}{\mathrm{x}}$ 

Để tiết kiệm vật liệu nhất thì S phải bé nhất. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

$S=2\left({\mathrm{\pi x}}^2+\frac{\mathrm{V}}{2\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{V}}{2\mathrm{x}}\right)\ge 2.3\sqrt[3]{\frac{{\mathrm{\pi V}}^2}{4}}$ 

Do đó S bé nhất khi và chỉ khi ${\mathrm{\pi x}}^2=\frac{\mathrm{V}}{2\mathrm{x}}\iff \mathrm{x}=\sqrt[3]{\frac{\mathrm{V}}{2\mathrm{\pi }}}$

Đáp án A