Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện

* Hướng dẫn giải

Gọi z = a + bi 

Ta có

$$\begin{gathered} \left|-2-3i+\overline{z}\right|=\left|z-i\right| \\ \iff \left|a-2-\left(b+3\right)i\right|=\left|a+\left(b-1\right)i\right| \\ \iff {\left(a-2\right)}^2+{\left(b+3\right)}^2=a^2+{\left(b-1\right)}^2 \\ \iff a=2b+3 \end{gathered}$$ 

Ta cần tìm z sao cho $\sqrt{a^2+b^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có

$$\begin{gathered} a^2+b^2={\left(2b+3\right)}^2+b^2 \\ =5{\left(b+\frac{6}{5}\right)}^2+\frac{9}{5}\ge \frac{9}{5} \end{gathered}$$ 

Do đó $min\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)=\sqrt{\frac{9}{5}}\iff b=-\frac{6}{5},a=\frac{3}{5}$ 

Vậy $\frac{3}{5}-\frac{6}{5}i$

Đáp án A