Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đáy

* Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm BC$\Rightarrow A\text{'}H\perp \left(ABC\right)$$\Rightarrow \widehat{A\text{'}AH}={30}^o$ 

Ta có $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2};A\text{'}H=AH.\tan \left({30}^o\right)=a\sqrt{2}$ 

Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC.

Gọi G là tâm của tam giác ABC, qua G kẻ đường thẳng d//A’H cắt AA’ tại E.

Gọi F là trung điểm AA’,trong mp (AA’H) kẻ đường trung trực của AA’ cắt d’ tại I $\Rightarrow$ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’.ABC và bán kính .

Ta có: $\widehat{AEI}={60}^o;EF=\frac{1}{6}AA\text{'}=\frac{a}{6}$; $IF=EF.\tan \left({60}^o\right)=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Vậy $R=\sqrt{A{F}^2+I{F}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Đáp án D