Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=(1+sin^2(x)/sin^2(x))^n+(1+cos^2(x)/cos^2(x))^n

* Hướng dẫn giải

Điều kiện

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\sin \left(x\right)\ne 0\\ \cos \left(x\right)\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \sin \left(2x\right)\ne 0 \\ \iff x\ne k\frac{\mathrm{\pi }}{2},k\in Z \end{gathered}$$  

Ta có 

$$\begin{gathered} y={\left(2co{t}^{2}x\right)}^n+\left(2+{\tan }^2\left(x\right)\right) \\ \ge 2\sqrt{{\left(2+co{t}^{2}x\right)}^n{\left(2+{\tan }^2\left(x\right)\right)}^n} \\ =2\sqrt{\left[5+2\left({\tan }^2\left(x\right)+co{t}^{2}x\right)\right]}\ge 2\sqrt{{\left(5+4\right)}^n} \\ =2.3^n \\ miny=2.3^n \\ \iff {\tan }^2\left(x\right)=co{t}^{2}x \\ \iff \tan \left(x\right)=\pm 1 \\ \iff x=\pm \frac{\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{Z} \end{gathered}$$

Đáp án C