Tìm các họ nghiệm của phương trình: (tan^2(x)+tan(x))/(tan^2(x)+1)

* Hướng dẫn giải

Điều kiện $\cos \left(x\right)\ne 0\iff x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }$.

Phương trình đã cho tương đương: 

$$\begin{gathered} \left({\tan }^2\left(x\right)+\tan \left(x\right)\right){\cos }^2\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right) \\ \iff {\sin }^2\left(x\right)+\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right) \\ \iff 2{\sin }^2\left(x\right)+\sin \left(2x\right)=\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right) \\ \iff 2\sin \left(x\right)\left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)=\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right) \\ \iff \left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)\left(2\sin \left(x\right)-1\right)=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)=0\\ 2\sin \left(x\right)-1=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\tan \left(x\right)=-1\\ \sin \left(x\right)=\frac{1}{2}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi }\\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}+k2\mathrm{\pi }\\ x=\frac{5\mathrm{\pi }}{6}+k2\mathrm{\pi }\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án D