Tìm số hạng mà tích số mũ của x và y bằng 18 trong khai triển nhị thức Newton

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: $2\le n\in N$

Ta có

$$\begin{gathered} A_{n+3}^3-6C_{n+1}^3=294 \\ \iff \frac{\left(n+3\right)!}{n!}-6\frac{\left(n+1\right)!}{3!\left(n-2\right)!}=294 \\ \iff \left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+1\right)-\left(n+1\right)n\left(n-1\right)=294 \\ \iff n^2+2n-48=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=6\\ n=-8\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

So với điều kiện chọn n = 6

Với n = 6 ta có ${\left(\frac{2x^4}{y}+\frac{y^2}{x^2}\right)}^6$=$\sum _{k=0}^6{C}_0^k{\left(\frac{2x^4}{y}\right)}^{6-k}{\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}^k$=$\sum _{k=0}^6{C}_0^k{2}^{6-k}{x}^{24-6k}{y}^{-6+3k}$ 

Giả thiết bài toán cho ta $\left(24-6k\right)\left(-6+3k\right)=18$$\iff {\left(k-3\right)}^2=0\iff k=3$ 

Khi k = 3 ta thu được số hạng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $C_6^3{2}^2{x}^6{y}^3=160x^6{y}^3$

Đáp án D