Viết phương trình tiếp tuyến delta của y=(x-2)/(x+1) biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận

* Hướng dẫn giải

Phương trình tiếp tuyến  có dạng:

$y=\frac{3}{{\left(x_0+1\right)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{x_0-2}{x_0+1}$ ( $x_0\ne -1$ là hoành độ tiếp điểm)

Gọi I là giao điểm hai tiệm cận và A,B lần lượt là giao điểm của $∆$ với hai tiệm cận.

Ta có I ( -1;1 ), A $\left(-1;\frac{x_0-5}{x_0+1}\right)$, B $\left(2x_0+1;1\right)$

Suy ra 

$$\begin{gathered} IA=\frac{6}{\left|x_0+1\right|};IB=2\left|x_0+1\right| \\ r=\frac{IA.IB}{IA+IB+AB} \\ =\frac{IA.IB}{IA+IB+\sqrt{I{A}^2+I{B}^2}}\le \frac{IA.IB}{2\sqrt{IA.IB}+\sqrt{2IA.IB}} \\ =\frac{6}{2\sqrt{3}+\sqrt{6}} \end{gathered}$$

Dấu "=" xảy ra khi và ch khi

$$\begin{gathered} IA=IB\iff \frac{6}{\left|x_0+1\right|}=2\left|x_0+1\right| \\ \iff x_0^2+2x_0-2=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0=-1-\sqrt{3}\\ x_0=-1+\sqrt{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $y=x+2-2\sqrt{3};y=x+2+\sqrt{3}$

Đáp án D