Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4: y = f(x) được cho như hình vẽ sau

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Phương pháp:

Đặt Đáp án A

Phương pháp:

Đặt f(x) = a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)(x – x₄), tính đạo hàm của hàm số y = f(x)

Xét hàm số $h\left(x\right)=\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}$ và chứng minh  f(x).f’’(x) – [f’(x)]² < 0 $\forall x\notin \left\{x_1;x_2;x_3;x_4\right\}$

Cách giải: Đồ thị hàm sốy = f(x) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt nên

f(x) = a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)(x – x₄)

=> f ’(x) = a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)(x – x₄) + a(x – x₁)(x – x₃)(x – x₄) + a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₄) + a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)

f ’(x) = f(x)$\left(\frac{1}{x-x_1}+\frac{1}{x-x_2}+\frac{1}{x-x_3}+\frac{1}{x-x_4}\right)$ $\forall x\notin \left\{x_1;x_2;x_3;x_4\right\}$ => f’(x) ≠ 0 $\forall x\notin \left\{x_1;x_2;x_3;x_4\right\}$

Đặt $h\left(x\right)=\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}$= $\frac{1}{x-x_1}+\frac{1}{x-x_2}+\frac{1}{x-x_3}+\frac{1}{x-x_4}$ $\forall x\notin \left\{x_1;x_2;x_3;x_4\right\}$

Ta có

= $\frac{-1}{{(x-x}^{}}$₁)2+-1(x-x₂)2+-1(x-x₃)2+-1(x-x₄)2<0 $\forall x\notin \left\{x_1;x_2;x_3;x_4\right\}$

=> f ''(x).f(x) – [f’(x)]² < 0$\forall x\notin \left\{x_1;x_2;x_3;x_4\right\}$

=> g(x) = [f’(x)]² – f(x).f’’(x)>0$\forall x\notin \left\{x_1;x_2;x_3;x_4\right\}$

Khi f(x) = 0 => f '(x) ≠ 0 => g(x) = [f’(x)]² – f(x).f’’(x) ≠ 0

Vậy đồ thị hàm số y = g(x) = [f’(x)]² – f(x).f’’(x) không cắt trục Ox