Cho hàm số f(x) có nguyên hàm trên . Xét các mệnh đề sau đây:

* Hướng dẫn giải

Xét mệnh đề (I).Ta có

$$\begin{gathered} {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin \left(2x\right).f\left(\sin x\right)dx \\ =2{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin \left(x\right).f\left(\sin x\right)d\left(\sin x\right) \end{gathered}$$

Đặt t = sin(x)

Đổi cận x = 0$\Rightarrow$t = 0 và $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\Rightarrow t=1$.

Khi đó

$$\begin{gathered} {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin \left(2x\right).f\left(\sin x\right)dx \\ =2{\int }_0^{1}tf\left(t\right)dt=2{\int }_0^{1}xf\left(x\right)dx \end{gathered}$$ 

Do đó mệnh đề (I) đúng.

* Xét mệnh đề (II). Đổi biến $t=e^x$, suy ra mệnh đề (II) đúng.

* Xét mệnh đề (III). Đổi biến $t=x^2$ , suy ra mệnh đề (III) đúng

Đáp án D