Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc

* Hướng dẫn giải

Trong mặt phẳng (ABC), qua A kẻ đường thẳng d song song với BC. Kẻ $HI\perp d$ , dễ thấy $AI\perp \left(SHI\right)$. Trong tam giác vuông SHI kẻ $HK\perp SI$ , nhận thấy $HK\perp \left(SIA\right)$.

Ta có $d\left(SA,BC\right)=d\left(B,\left(SIA\right)\right)$$=\frac{3}{2}d\left(H,\left(SIA\right)\right)=\frac{3}{2}HK$ 

Ta tính được $H=HA.\sin \left({60}^o\right)=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ 

Ta có $\widehat{SCH}=\left(\widehat{SC;\left(ABC\right)}\right)$, suy ra $SH=a\frac{\sqrt{21}}{3}$ 

Từ $\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{I}^2}$ ta thu được $HK=\frac{a\sqrt{42}}{12}$ 

Suy ra $d\left(SA,BC\right)=\frac{3}{2}HK=\frac{a\sqrt{42}}{8}$

Đáp án C