Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi E là điểm thỏa mãn NCDE là hình bình hành.

$\Rightarrow NC//ED\Rightarrow NC//\left(SED\right)$.

Kẻ $AH\perp DE,AK\perp SH\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SED\right)\right)$.

Ta có $d\left(NC;SD\right)=d\left(NC;\left(SED\right)\right)=d\left(N;\left(SED\right)\right)$.

Mặt khác

$\frac{d\left(N;\left(SED\right)\right)}{d\left(A;\left(SED\right)\right)}=\frac{ND}{AD}=\frac{2}{3}\Rightarrow d\left(N;\left(SED\right)\right)=\frac{2}{3}AK$.

Vì ABCD là hình thoi cạnh a và $\widehat{BAD}={60}^0$ nên $\Delta ABD$ đều có cạnh bằng a.

$\Rightarrow AC=2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

Ta có:

$C{N}^2=C{A}^2+A{N}^2-2AN.AC.\cos {30}^0$

$=3a^2+{\left(\frac{a}{3}\right)}^2-2.a\sqrt{3}.\frac{a}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{19}{9}{a}^2$

$\Rightarrow N{C}^2=D{E}^2=\frac{19}{9}{a}^2$

$\Rightarrow \cos \widehat{NDE}=\frac{D{N}^2+D{E}^2-E{N}^2}{2.DN.DE}=\frac{{\left(\frac{2a}{3}\right)}^2+\frac{19}{9}{a}^2-a^2}{2.\frac{2a}{3}.\frac{\sqrt{19}a}{3}}=\frac{7\sqrt{19}}{38}$

$\Rightarrow \sin \widehat{NDE}=\sqrt{\frac{27}{76}}\Rightarrow AH=AD.\sin \widehat{NDE}=\sqrt{\frac{27}{16}}a$

$\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{A{S}^2}+\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{{\left(AC.\tan {60}^0\right)}^2}+\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{{\left(3a\right)}^2}+\frac{1}{\frac{27}{76}{a}^2}$

$\Rightarrow AK=a\sqrt{\frac{27}{79}}=3a\sqrt{\frac{3}{79}}$

$\Rightarrow d\left(N;\left(SED\right)\right)=\frac{2}{3}AK=2a\sqrt{\frac{3}{79}}$