Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Đặt $\begin{array}{l}g\left(x\right)=f\left(3x\right)-9x^3-1\\ \Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=3f\text{'}\left(3x\right)-27x^2\\ g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\text{'}\left(3x\right)={\left(3x\right)}^2\left(*\right)\end{array}$

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ và $y=x^2$ như hình bên.

Từ đồ thị hàm số ta có $\left(*\right)\iff \left[\begin{array}{l}3x=0\\ 3x=1\\ 3x=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{1}{3}\\ x=\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Khi đó $g\text{'}\left(x\right)>0\iff f\text{'}\left(3x\right)>{\left(3x\right)}^2\iff 0<x<\frac{2}{3}$.

$\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)<0$ trên $\left(-\infty ;0\right);\left(\frac{2}{3};+\infty \right)$.

Ta có $g\left(0\right)=f\left(0\right)-{9.0}^3-1=0$.

Bảng biến thiên của hàm số y=g(x).

Từ bảng biến thiên ta có hàm số $y=\left|g\left(x\right)\right|$ đồng biến trên $\left(0;\frac{2}{3}\right)$.