Có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên dương

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Yêu cầu bài toán $\iff -x^2+mx+2m+1>0,\forall x\in \left(1;2\right)$

$\iff m\left(x+2\right)>x^2-1,\forall x\in \left(1;2\right)\iff m>\frac{x^2-1}{x+2},\forall x\in \left(1;2\right)$.

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x+2}$, với $x\in \left(1;2\right)$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x^2+4x+1}{{\left(x+2\right)}^2},f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-2-\sqrt{3}\notin \left(1;2\right)\\ x=-2+\sqrt{3}\notin \left(1;2\right)\end{array}\right.\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)>0,\forall x\in \left(1;2\right)$

Dựa vào bảng biến thiên có $m>\frac{x^2-1}{x+2},\forall x\in \left(1;2\right)$ khi $m\ge \frac{3}{4}$. Vậy $m\ge \frac{3}{4}$