Cho hàm số f(x) liên tục trên R biết

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

+) Xét $I_1=\underset{1}{\overset{e^6}{\int }}\frac{f\left(\ln \sqrt{x}\right)}{x}dx=6$. Đặt $t=\ln \sqrt{x}\Rightarrow dt=\frac{1}{2x}dx\Rightarrow 2dt=\frac{1}{x}dx$

Suy ra: $I_1=\underset{0}{\overset{3}{\int }}2f\left(t\right)dt=6\Rightarrow I_1=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt=3$

+) Xét $I_2=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left({\cos }^{2}x\right).\sin \left(2x\right).dx$. Đặt $t={\cos }^{2}x\to dt=-\sin \left(2x\right)dx$

Suy ra: $I_2=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)dt=2\Rightarrow I_2=2$.

Vậy $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(f\left(x\right)+2\right)dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{3}{\int }}2dx=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+4=I_1-I_2+4=5$.