Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3)

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

$\left(S\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=36$, có tâm I(3;2;5) và R=6

Ta có: $\overrightarrow{EI}=\left(1;1;2\right)\Rightarrow \overrightarrow{\left|EI\right|}=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}<6=R$.

Do đó điểm E nằm trong mặt cầu (S).

Vì $E\in \left(P\right)$ và $\left\{\begin{array}{l}E\in \Delta \\ \Delta \subset \left(P\right)\end{array}\right.$ nên giao điểm của $\left(\Delta \right)$ và (S) nằm trên đường tròn giao tuyến (C) tâm K của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S), trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P). Gọi $\Delta \cap \left(S\right)=\left\{A;B\right\}$. Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left(K,\Delta \right)$ lớn nhất.

Gọi F là hình chiếu của K trên $\left(\Delta \right)$ khi đó $d\left(K;\Delta \right)=KF\le KE$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $F\equiv E$.

Vì $\left\{\begin{array}{l}IK\perp \left(P\right)\\ KE\perp \Delta \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}IK\perp \Delta \\ KE\perp \Delta \end{array}\right.\Rightarrow IE\perp \Delta$.

Mặt khác: $\left[{\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)},\overrightarrow{EI}\right]=\left(5;-5;0\right)$, cùng phương với $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;0\right)$.

Vì $\left\{\begin{array}{l}\Delta \subset \left(P\right)\\ \Delta \perp IE\end{array}\right.$ nên $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;0\right)$. Vậy $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\\ z=3\end{array}\right.$.