Có bao nhiêu giá trị nguyên âm và không

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Đặt $y=\frac{\sin 3x+2\cos 3x}{2{\sin }^2\frac{3x}{2}+\sin 3x+2}$

$\iff y=\frac{\sin 3x+2\cos 3x}{\sin 3x-\cos 3x+3}$ (Vì $\sin 3x-\cos 3x+3>0,\forall x\in ℝ\Rightarrow$ Hàm số luôn xác định trên $\mathrm{ℝ}$)

$\iff \left(y-1\right)\sin 3x-\left(y+2\right)\cos 3x=-3y\left(*\right)$

Vì bất phương trình $\frac{\sin 3x+2\cos 3x}{2{\sin }^2\frac{3x}{2}+\sin 3x+2}\ge m-1$ đúng $\forall x\in ℝ$ nên (*) luôn có nghiệm

$\iff {\left(y-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2\ge 9y^2\iff 7y^2-2y-5\le 0\iff \frac{-5}{7}\le y\le 1$

Yêu cầu bài toán $m-1\le -\frac{5}{7}\iff m\le \frac{2}{7}.\underset{m\in \mathbb{Z}}{\overset{-10\le m\le \frac{2}{7}}{\to }}m=\left\{-10;-9;\mathrm{...};-1\right\}$