Tổng các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Điều kiện x > 0

$\begin{array}{l}BPT\iff \left(x-4\right){\log }_2\left[{\log }_{2}x-{\log }_2\sqrt{x+3}\right]\ge {\log }_{2}1\\ \iff \left(x-4\right){\log }_2\left({\log }_2\frac{x}{\sqrt{x+3}}\right)\ge 0\left(*\right)\end{array}$

• Nếu x=4 thì (*) được nghiệm đúng nên x=4 là 1 nghiệm của bất phương trình
• Nếu x > 4 thì (*) $\iff \left\{\begin{array}{l}x>4\\ {\log }_2{\log }_2\frac{x}{\sqrt{x+3}}\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>4\\ {\log }_2\frac{x}{\sqrt{x+3}}\ge 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>4\\ \frac{x}{\sqrt{x+3}}\ge 2\end{array}\right.\iff x\ge 6$
• Nếu x < 4 thì (*) $\iff \left\{\begin{array}{l}x<4\\ {\log }_2\left({\log }_2\frac{x}{\sqrt{x+3}}\right)\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x<4\\ 0<{\log }_2\frac{x}{\sqrt{x+3}}\le 1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x<4\\ 1<\frac{x}{\sqrt{x+3}}\le 2\end{array}\right.\iff \frac{1+\sqrt{13}}{2}<x\le 4$. Vậy nghiệm của (*) là $\frac{1+\sqrt{13}}{2}<x\le 4$ hoặc $x\ge 6$