Số giá trị nguyên không lớn hơn 10 của

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Điều kiện x > 2

Ta có $\left(m-1\right){\log }_{\frac{1}{2}}^2{\left(x-2\right)}^2-4\left(m-5\right){\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{x-2}+4m-4\ge 0$

$\iff 4\left(m-1\right){\log }_{\frac{1}{2}}^2\left(x-2\right)+4\left(m-5\right){\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-2\right)+4m-4\ge 0$

Đặt $t={\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-2\right).$ Do $x\in \left[\frac{5}{4};4\right]\Rightarrow t\in \left[-1;1\right]$

$\begin{array}{l}4\left(m-1\right)t^2+4\left(m-5\right)t+4m-4\ge 0\iff m\left(t^2+t+1\right)\ge t^2+5t+1\\ \iff m\ge \frac{t^2+5t+1}{t^2+t+1}=f\left(t\right)\end{array}$

Xét $f\left(t\right)=\frac{t^2+5t+1}{t^2+t+1}$ trên $\left[-1;1\right]$

$f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{4-4t^2}{{\left(t^2+t+1\right)}^2}\ge 0,\forall t\in \left[-1;1\right]\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên đoạn $\left[-1;1\right]$

$\Rightarrow m\ge \frac{t^2+5t+1}{t^2+t+1}$ có nghiệm trên $\left[-1;1\right]\iff m\ge \underset{\left[-1;1\right]}{min}f\left(t\right)\iff m\ge f\left(-1\right)=-3$

$\underset{m\in \left[-3;10\right]}{\overset{m\in \mathbb{Z}}{\to }}$ Có 14 giá trị của m thỏa mãn