Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;-1;2\right)$, vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(3;1;-1\right)$.

Ta thấy hai điểm A.B nằm cùng 1 phía với mặt phẳng (P) và AB song song với (P).

Điểm $M\in \left(P\right)$ sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất

$\iff S_{\Delta ABC}=\frac{AB.d\left(M;AB\right)}{2}$ nhỏ nhất

$\iff d\left(M;AB\right)$ nhỏ nhất, hay $M\in \Delta =\left(P\right)\cap \left(Q\right)$, (Q) là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với (P).

 $\Rightarrow \Delta \text{//}AB$ hay $∆$ nhận $\overrightarrow{AB}=\left(1;-1;2\right)$ là một vectơ chỉ phương.

Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right]=\left(-1;7;4\right)$

$\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $\left(Q\right):-1\left(x-1\right)+7y+4\left(z-2\right)=0\iff x-7y-4z+7=0$

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm M(x;y;z) thỏa mãn hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-7y-4z+7=0\\ 3x+y-z+5=0\end{array}\right.$.

Chọn $x=-1\Rightarrow y=-\frac{2}{11};z=\frac{20}{11}$

$\Rightarrow \Delta :\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-\frac{2}{11}-t\\ z=\frac{20}{11}+2t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right)$.