Trong không gian với hệ trục tọa độ, cho

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi M(x;y;z).

Do $M\in \left(P\right)$ nên $3x-3y+2z+37=0$.

Có $\overrightarrow{MA}=\left(4-x;1-y;5-z\right),\overrightarrow{MB}=\left(3-x;-y;1-z\right),\overrightarrow{MC}=\left(-1-x;2-y;-z\right)$.

Khi đó $S=3\left[{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2-5\right]$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

$\left[3\left(x-2\right)-3\left(y-1\right)+2{\left(z-2\right)}^2\right]\le \left(3^2+3^2+2^2\right)\left[{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2\right]$

$\iff {44}^2\le 22\left(\frac{S}{3}+5\right)\iff S\ge 249$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-2}{2}\iff \left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=7\\ z=-2\end{array}\right.$.