Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x+2>0\\ \begin{array}{l}2x^2+mx+1>0\end{array}\end{array}\right.$

Phương trình ban đầu tương đương

$\begin{array}{l}{\log }_2\left(\frac{\sqrt{2x^2+mx+1}}{x+2}\right)+\sqrt{2x^2+mx+1}=x+2\\ \iff {\log }_2\sqrt{2x^2+mx+1}+\sqrt{2x^2+mx+1}={\log }_2\left(x+2\right)+x+2\end{array}$

$\iff f\left(\sqrt{2x^2+mx+1}\right)=f\left(x+2\right)\left(1\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t$ với $t\in \left(0;+\infty \right)$ có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0,\forall t\in \left(0;+\infty \right)$

$\Rightarrow f\left(t\right)$ đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ nên (1) $\iff \sqrt{2x^2+mx+1}=x+2$

Từ đó $\left\{\begin{array}{l}x>-2\\ 2x^2+mx+1={\left(x+2\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>-2\\ x^2+\left(m-4\right)x-3=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Để có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiêm phân biệt $x_1,x_2$ lớn -2

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta ={\left(m-4\right)}^2+12>0\\ \left(x_1+2\right)+\left(x_2+2\right)>0\\ \left(x_1+2\right).\left(x_2+2\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\in ℝ\\ x_1+x_2+4=0\\ x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)+4=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\in ℝ\\ 4-m+4>0\\ -3+2\left(4-m\right)+4>0\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}m<8\\ m<\frac{9}{2}\end{array}\right.\iff m<\frac{9}{2}$ mà $m\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow m\in \left\{1;2;3;4\right\}$