Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có $\underset{0}{\overset{2}{\int }}xf\text{'}\left(x\right)dx={\left.xf\left(x\right)\right|}_0^2-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Từ $f\left(x\right)+f\left(2-x\right)=x^2-2x+2,\forall x\in ℝ\left(1\right)$

Thay x=0 vào (1) ta được $f\left(0\right)+f\left(2\right)=2\Rightarrow f\left(2\right)=2-f\left(0\right)=2-3=-1$

Xét $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Đặt $x=2-t\Rightarrow dx=-dt,$ đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=2\\ x=2\Rightarrow t=0\end{array}\right.$

Khi đó $I=-\underset{2}{\overset{0}{\int }}f\left(2-t\right)dt=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2-t\right)dt\Rightarrow I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2-x\right)dx$

$I=\underset{2}{\overset{0}{\int }}f(2-t)dt=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(2-t)dt\Rightarrow I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(2-x)dx$

Do đó ta có $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(f\left(x\right)+f\left(2-x\right)\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-2\text{x}+2\right)dx$

$\iff 2\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{8}{3}\iff \underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{4}{3}$

Vậy $\underset{0}{\overset{2}{\int }}xf\text{'}\left(x\right)dx={\left.xf\left(x\right)\right|}_0^2-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=2\left(-1\right)-\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}.$