Cho f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$

Xét tích phân $\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx$. Đặt $t=-x\Rightarrow dx=-dt$. Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=-a\Rightarrow t=a\\ x=0\Rightarrow t=0\end{array}\right.$

Do f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên $\left[-a;a\right]$ nên $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\Rightarrow f\left(-t\right)=-f\left(t\right)$

Khi đó

$\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{a}{\overset{0}{\int }}f\left(-t\right)dt=-\underset{a}{\overset{0}{\int }}\left[-f\left(t\right)\right]dt=\underset{a}{\overset{0}{\int }}f\left(t\right)dt=-\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(t\right)dt=-\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$

Vậy $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0$