Cho tích phân từ 0 đến pi/4 căn bậc hai

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{\sqrt{2+3\tan x}}{1+\cos 2x}dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{\sqrt{2+3\tan x}}{2{\cos }^{2}x}dx$

Đặt $u=\sqrt{2+3\tan x}\Rightarrow u^2=2+3\tan x\Rightarrow 2udu=\frac{3}{{\cos }^{2}x}dx$

Đổi cận $x=0\Rightarrow u=\sqrt{2}$

$x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow u=\sqrt{5}$. Khi đó $I=\frac{1}{3}\underset{\sqrt{2}}{\overset{\sqrt{5}}{\int }}{u}^{2}du=\frac{1}{9}{u}^3\left|\begin{array}{l}{}^{\sqrt{5}}\\ {}_{\sqrt{2}}\end{array}\right.=\frac{5\sqrt{5}}{9}-\frac{2\sqrt{2}}{9}$

Do đó $a=\frac{5}{9},b=-\frac{2}{9}\Rightarrow a+b=\frac{1}{3}$