Trong không gian Oxyz, cho A(0;1;2)

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ và G(1;1;1)

Khi đó ta có: $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2={\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2$

$={\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)}^2$

$=3{\overrightarrow{MG}}^2+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2+2\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3{\overrightarrow{MG}}^2+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2$

$=3M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$

Do các điểm A, B, C, G cố định nên $G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$ không đổi.

Suy ra $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$ nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất. Do đó M là hình chiếu vuông góc của G lên $\left(Q\right)\Rightarrow MG=d\left(G;\left(Q\right)\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow 3M{G}^2=4$

Lại có: $G{A}^2=2;G{B}^2=2;G{C}^2=4$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$ bằng 12