Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có: $\left(P\right)\equiv \left(EBC\right)$

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, F là trung điểm của BC và $I=AG\cap EF$

Do ABCD là tứ diện đều $\Rightarrow AG\perp \left(BCD\right)\Rightarrow AG\perp FD$

$AG=\sqrt{A{D}^2-D{G}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Mặt khác: ABCD là tứ diện đều nên $AF\perp BC\left(AB=AC\right)$ và $DF\perp BC\left(AB=AC\right)$ $\Rightarrow \left(AFD\right)\perp BC\Rightarrow EF\perp BC$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}EF\perp BC\\ DF\perp BC\\ \left(P\right)\cap \left(DBC\right)=BC\end{array}\right.\Rightarrow \left(\left(EBC\right),\left(DBC\right)\right)=\left(EF,DF\right)=\widehat{EFD}$ (vì $AG\perp FD$).

$\Rightarrow \widehat{EFD}=\alpha$

$IG=FG.\tan \alpha =\frac{a\sqrt{3}}{6}.\frac{5\sqrt{2}}{7}=\frac{5a\sqrt{6}}{42}$

Dựng $EK//FD,K\in AG$ và đặt $\frac{AE}{AD}=x$

Suy ra: $\frac{AK}{AG}=x\Rightarrow AK=xAG=x.\frac{a\sqrt{6}}{3}$

$\frac{EK}{GD}=x\Rightarrow \frac{EK}{2FG}=x\Rightarrow \frac{EK}{FG}=2x\Rightarrow \frac{IK}{IG}=2x\Rightarrow IK=2x.IG=2x.\frac{5a\sqrt{6}}{42}$

Ta có: $AG=AK+IK+IG\iff \frac{a\sqrt{6}}{3}=x.\frac{a\sqrt{6}}{3}+2x.\frac{5a\sqrt{6}}{42}+\frac{5a\sqrt{6}}{42}\Rightarrow x=\frac{3}{8}$

$\Rightarrow \frac{V_1}{V_1+V_2}=\frac{AE}{AD}=\frac{3}{8}\Rightarrow \frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{5}$.