Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Ta có $A{B}^{\text{'}}\cap A^{\text{'}}B=M;B{C}^{\text{'}}\cap B^{\text{'}}C=N$. Do $AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}},BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ là các hình chữ nhật nên M,N lần lượt là trung điểm của $A^{\text{'}}B,C^{\text{'}}B$.

Gọi $V_1=V_{B.B^{\text{'}}MN},V_2=V_{B.ACNM},V_3=V_{B^{\text{'}}.A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}NM},V_4=V_{A{A}^{\text{'}}MC{C}^{\text{'}}N}$.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{V}_2=V_{B^{\text{'}}.ABC}-V_1=\frac{1}{3}V-V_1\\ V_3=V_{B.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}-V_1=\frac{1}{3}V-V_1\\ V_2=V-\left(V_1+V_2+V_3\right)=\frac{1}{3}V+V_1\end{array}\right.$

Ta có $\frac{V_{B.B^{\text{'}}MN}}{V_{B.B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}=\frac{BM}{B{A}^{\text{'}}}.\frac{BN}{B{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{4}\Rightarrow V_{B.B^{\text{'}}MN}=\frac{1}{4}{V}_{B.B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{12}V=\frac{1}{12}$

$\Rightarrow V_2=V_3=\frac{1}{4};V_4=\frac{5}{12}$

Vậy thể tích phần nhỏ nhất là $V_1=\frac{1}{12}$.