Cho hàm số y=-x^3+mx^2+mx+1 có đồ thị

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=-3x_0^2+2m{x}_0+m=-3{\left(x_0-\frac{m}{3}\right)}^2+\frac{m^2}{3}+m\le \frac{m^2}{3}+m.$

Dấu “=” đạt tại $x_0=\frac{m}{3}.$ Thay vào hàm số ta được $y_0=\frac{2m^3}{27}+\frac{m^2}{3}+1.$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ là $d:y=\left(\frac{m^2}{3}+m\right)\left(x-\frac{m}{3}\right)+\frac{2m^3}{27}+\frac{m^2}{3}+1.$

Vì đi qua O(0;0) nên $0=\left(\frac{m^2}{3}+m\right)\left(-\frac{m}{3}\right)+\frac{2m^3}{27}+\frac{m^2}{3}+1\iff \frac{m^3}{27}=1\iff m=3.$