Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có diện tích mặt cầu ${\text{S}}_{mc}=4\pi R_c^2\Rightarrow R_c^2=\frac{S_{mc}}{4\pi }=\frac{\frac{13\pi a^2}{3}}{4\pi }=\frac{13a^2}{12}$ (*).

Gọi $R_d$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.

Đặt $AB=x\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}SA=AC\tan 60°=x\sqrt{3}\\ R_{day}=\frac{x\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$

Áp dụng mô hình 1 (cạnh bên vuông góc với mặt đáy)

Ta có: $R_c=\sqrt{R_{day}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}\iff R_c^2=R_{day}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2={\left(\frac{x\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{13{\text{x}}^2}{12}$ (2*).

Từ (*) và (2*), suy ra: $x=a\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}SA=a\sqrt{3}\\ S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\end{array}\right.$.

Khi đó $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{ABC}=\frac{a^3}{4}$.