Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Do $1+\sqrt{x+1}\ne 0$ với $\forall x\in [-1;+\infty )$ nên đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình $x^2-mx-3m=0(*)$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc $D=[-1;+\infty ).$

Trên D ta có: $(*)\iff \frac{x^2}{x+3}=m$. Ta lập bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2}{x+3}$ trên D $y\text{'}=\frac{x^2+6x}{{(x+3)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-6\left(L\right)\\ x=0\end{array}\right.$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thuộc $D=[-1;+\infty )$ khi và chỉ khi $m\in \left(0;\frac{1}{2}\right].m\in \left(0;\frac{1}{2}\right].$

Ghi chú: Ta có thể chọn vài giá trị của m để thử và loại bớt đáp án. Thí dụ chọn m = 0 thì đồ thị chỉ có 1 tiệm đứng x = 0, loại D. Chọn m = 1 thì đồ thị chỉ có 1 tiệm cận đứng $x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$, loại B, C