Bên trong hình vuông cạnh a, dựng hình sao

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Xét hình nằm ở góc phần tư thứ nhất.

Khi đó ta viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2}\right)$ và $\left(0;\frac{a}{4}\right)$ là $y=\frac{x}{2}+\frac{a}{4}$.

Và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2}\right)$ và $\left(\frac{a}{4};0\right)$ là $y=2x-\frac{a}{2}$.

Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tính.

Gọi $V_1$ là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng được tô màu trong hình bên (chỉ xét ở góc phần tư thứ nhất) quanh trục hoành. Khi đó $V=2V_1$.

Ta có $V_1=\pi \underset{0}{\overset{\frac{a}{2}}{\int }}{\left(\frac{x}{2}+\frac{a}{4}\right)}^{2}dx-\pi \underset{\frac{a}{4}}{\overset{\frac{a}{2}}{\int }}{\left(2x-\frac{a}{2}\right)}^{2}dx=\frac{5\pi a^3}{96}$

Suy ra thể tích cần tính $V=2V_1=\frac{5\pi a^3}{48}$.