Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của $A_1$ lên $B_1{C}_1$.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}{A}_{1}H\perp B_1{C}_1\\ A_{1}H\perp B{B}_1\end{array}\right.\Rightarrow A_{1}H\perp \left(BIK\right)$ hay $A_{1}H$ là đường cao của tứ diện $A_{1}BIK$.

Ta có $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos 120°}=a\sqrt{7}$

Ta có $S_{\Delta A_1{B}_1{C}_1}=\frac{1}{2}{A}_{1}H.B_1{C}_1=\frac{1}{2}{A}_1{B}_1.A_1{C}_1.\sin 120°$

$\iff A_{1}H=\frac{A_1{B}_1.A_1{C}_1.\sin 120°}{B_1{C}_1}=\frac{a\sqrt{21}}{7}$

$V_{A_{1}IBK}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta BIK}.A_{1}H=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{35}}{2}.\frac{a\sqrt{21}}{7}=\frac{1}{6}{a}^3\sqrt{15}$

+) Mặt khác $BK=\sqrt{C{K}^2+C{B}^2}=2a\sqrt{3}$, $K{A}_1=\sqrt{C_1{K}^2+C_1{A_1}^2}=3a$

$B{A}_1=\sqrt{A{B}^2+A{A}_1^2}=a\sqrt{21}$

Ta thấy $B{K}^2+K{A}_1^2=B{A}_1^2$ vuông tại K $\Rightarrow \Delta A_{1}BK$.vuông tại K $\Rightarrow S_{\Delta A_{1}KB}=\frac{1}{2}.K{A}_1.KB=3\sqrt{3}{a}^2$

+) Ta có $d\left(I\left(A_{1}BK\right)\right)=\frac{3.V_{I.A_{1}BK}}{S_{\Delta A_{1}BK}}=\frac{3.\frac{1}{6}{a}^3\sqrt{15}}{3a^2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{5}}{6}$