Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Xét phương trình $x^3-3x^2-m=0\iff x^3-3x^2=m (*)$   

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của đường thẳng y=m và đồ thị hàm số y=f(x).

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2$ có $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-6x$, $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$  

Bảng biến thiên của hàm f(x)

Đồ thị của hàm số $y=\frac{x+1}{x^3-3x^2-m}$ có đúng một tiệm cận đứng thì phương trình (*) phải thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

+) TH1: Phương trình (*) có duy nhất nghiệm $x\ne -1$

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm duy nhất $x\ne -1$ khi $\left[\begin{array}{l}m<-4\\ m>0\end{array}\right.$.

+) TH2: Phương trình (*) có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm x=-1 và một nghiệm kép

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm x=-1 và một nghiệm kép khi m=-4.

Kết hợp hai trường hợp ta có giá trị của tham số thỏa mãn đề bài là $\left[\begin{array}{l}m>0\\ m\le -4\end{array}\right.$.