Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Do $M\in d$ nên $M\left(1+2t;1-t;t\right)$.

$MA-MB=\sqrt{4t^2+{\left(t-1\right)}^2+{\left(t+1\right)}^2}-\sqrt{{\left(2t-1\right)}^2+t^2+{\left(t-1\right)}^2}$

$=\sqrt{6t^2+2}-\sqrt{6t^2-6t+2}=\sqrt{6t^2+2}-\sqrt{6{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}}$

Chọn $\overrightarrow{u}=\left(\sqrt{6}t;\sqrt{2}\right)$; $\overrightarrow{v}=\left(\sqrt{6}\left(t-\frac{1}{2}\right);\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\Rightarrow \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left(\frac{\sqrt{6}}{2};\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

Ta có: $\left|MA-MB\right|=\left|\left|\overrightarrow{u}\right|-\left|\overrightarrow{v}\right|\right|\le \left|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{\frac{6}{4}+\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra $\iff$ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng hướng $\iff \frac{\sqrt{6}t}{\sqrt{6}\left(t-\frac{1}{2}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\iff t=1$

Vậy $\left|MA-MB\right|$ lớn nhất khi M(3;0;1) suy ra $P=3^2+0^2+1^2=10$.