Cho hai số thực a,b>1 sao cho luôn tồn tại số

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Có $1<a,b,0<x\ne 1$

Có $a^{{\log }_{b}x}=b^{{\log }_a{x}^2}\iff a^{{\log }_{b}a.{\log }_{a}x}=b^{2{\log }_{a}x}\iff a^{{\log }_{a}x.{\log }_{b}a}=b^{2{\log }_{a}x}$

$\iff x^{{\log }_{b}a}=x^{2{\log }_{a}b}\iff {\log }_{b}a=2{\log }_{a}b\iff {\log }_{b}a=2\frac{1}{{\log }_{b}a}$

$\iff {\left({\log }_{b}a\right)}^2=2\iff {\log }_{b}a=\sqrt{2}$ (do 1<a,b nên ${\log }_{b}a>0$) $\iff a=b^{\sqrt{2}}$.

Có $P={\ln }^{2}a+{\ln }^{2}b-\ln \left(ab\right)={\left(\ln b^{\sqrt{2}}\right)}^2+{\ln }^{2}b-\ln \left(b^{\sqrt{2}}b\right)$.

$=2{\ln }^{2}b+{\ln }^{2}b-\left(\sqrt{2}+1\right)\ln b=3{\ln }^{2}b-\left(\sqrt{2}+1\right)\ln b.$

Đặt t=lnb, t>0 (do b>1).

Xét hàm số $y=f\left(t\right)=3t^2-\left(\sqrt{2}+1\right)t$, với t>0.

Có $f^{\text{'}}\left(t\right)=6t-\left(\sqrt{2}+1\right)$, $f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff 6t-\left(\sqrt{2}+1\right)=0$

$\iff t=\frac{\sqrt{2}+1}{6}>0$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên có $\min P=\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }f\left(t\right)=-\frac{3+2\sqrt{2}}{12}$ khi $t=\frac{\sqrt{2}+1}{6}$

Vậy $\min P=-\frac{3+2\sqrt{2}}{12}$