Cho hàm số f(x) xác định trên [1; dương vô cùng]

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Hàm số f(x) xác định trên $\left[1;+\infty \right)$ nên $x.f\text{'}\left(x\right)-2\sqrt{\ln x}=0\iff f\text{'}\left(x\right)=\frac{2\sqrt{\ln x}}{x}\left(1\right)$.

Lấy tích phân hai vế (1) trên đoạn $\left[\sqrt[4]{e};e\right]$, ta được:

 $\begin{array}{l}\underset{\sqrt[4]{e}}{\overset{e}{\int }}f\text{'}\left(x\right)dx=\underset{\sqrt[4]{e}}{\overset{e}{\int }}\frac{2\sqrt{\ln x}}{x}dx\iff \underset{\sqrt[4]{e}}{\overset{e}{\int }}f\text{'}\left(x\right)dx=2\underset{\sqrt[4]{e}}{\overset{e}{\int }}\sqrt{\ln x}d\left(\ln x\right)\\ \iff f\left(e\right)-f\left(\sqrt[4]{e}\right)=\frac{4}{3}\sqrt{{\ln }^{3}x}\left|{}_{\sqrt[4]{e}}^e\iff f\left(e\right)=\frac{7}{6}+2=\frac{19}{6}\right.\end{array}$