Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Xét tích phân $I_1=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx$. Đặt $u=\frac{\pi }{2}-x\Rightarrow du=-dx$.

Đổi cận $x=0\Rightarrow u=\frac{\pi }{2};x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow u=0$.

Suy ra

$\begin{array}{l}{I}_1=-\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{0}{\int }}f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)dx\Rightarrow 2I_1=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)dx\\ \Rightarrow 2I_1=\left(\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)+f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right)dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\cos x}{{\left(1+\sin x\right)}^2}dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\left(1+\sin x\right)}{{\left(1+\sin x\right)}^2}\\ =-\frac{1}{1+\sin x}\left|{}_0^{\frac{\pi }{2}}\right.=-\left(\frac{1}{2}-1\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow I_1=\frac{1}{4}\end{array}$